Почему AJAX переход на главную не работает,хотя везде работает?

Димон,где это меняется,извините за такие вопросы я в этом деле новичек(

Попробуйте autoOpen: true изменить на autoOpen:false

[not-group=5]
<a class="sec-btn" href="#" onclick="show_modal_dle();"><i class="fa fa-user-circle-o"></i></a>
<div id="div_modal_dle" title="Кабинет - {login}" style="display:none;">
<div class="mb-3 text-center">
<a href="{profile-link}"><img src="/templates/newfaq/dleimages/noavatar.png" class="w-25 fs-14 rounded-circle mb-2"></a>
<div><a href="{profile-link}" class="text-dark fw-bold">{login}</a></div>

<div>{group}</div>
</div>
<div class="row">
[admin-link]<div class="col-md-12 mb-2"><a href="{admin-link}" class="sec-btn w-100">Админпанель</a></div>[/admin-link]
<div class="col-md-6 mb-2"><a href="{addnews-link}" class="sec-btn w-100">Добавить пост</a></div>
<div class="col-md-6 mb-2"><a href="{profile-link}" class="sec-btn w-100">Мой профиль</a></div>
<div class="col-md-6 mb-2"><a href="{pm-link}" class="sec-btn w-100">Сообщения</a></div>
<div class="col-md-6 mb-2"><a href="{favorites-link}" class="sec-btn w-100">Избранное</a></div>
<div class="col-md-6 mb-2"><a href="{newposts-link}" class="sec-btn w-100">Новое</a></div>
<div class="col-md-6 mb-2"><a href="/index.php?do=lastcomments" class="sec-btn w-100">Комментарии</a></div>
<div class="col-md-12"><a href="{logout-link}" class="sec-btn w-100">Выйти</a></div>
</div>
</div>
[/not-group]

[group=5]
<a class="sec-btn" onclick="show_modal_dle();"><i class="fa fa-sign-in"></i></a>
<div id="div_modal_dle" title="Авторизация" style="display:none;">
<form name="login-form" id="loginform" method="post">
<div class="form-group">
<label for="user_login">Логин</label>
<input type="text" name="login_name" id="login_name" value="">
</div>
<div class="form-group">
<label for="user_pass">Пароль</label>
<input type="password" name="login_password" id="login_password">
</div>
<div class="form-group">
<div class="admin_checkboxs" style="margin-bottom:10px">
<input type="checkbox" name="login_not_save" id="login_not_save" value="1"/>
<label for="login_not_save" style="font-weight:400">Не запоминать меня</label>
</div>
<input type="submit" class="sec-btn w-100" value="Войти">
<input name="login" type="hidden" id="login" value="submit">
</div>
<div class="row"><div class="col-md-12 hfgGFsdj">
<div class="float-start"><a href="{registration-link}" class="text-dark">Регистрация на сайте</a></div>
<div class="float-end"><a href="{lostpassword-link}" class="text-dark">Восстановление пароля</a></div>
</div></div>
</form>
</div>
[/group]

Так Вы для начала прочтите описание модуля, в частности

потом настройте его.
А потом просто в нужном Вам месте вставьте например так

[not-lang=en]<a href="https://site.com/en/"><img src="{THEME}/images/flags/us.png" alt="English"></a>[/not-lang][lang=en]<img src="{THEME}/images/flags/us.png" alt="English">[/lang]
[not-lang=ru]<a href="https://site.com/ru/"><img src="{THEME}/images/flags/ru.png" alt="Русский"></a>[/not-lang][lang=ru]<img src="{THEME}/images/flags/ru.png" alt="Русский">[/lang]

Я этот модуль уже купил, но еще не настраивал.
Но чтобы он работал полноценно, нужно, чтобы пользователь мог сначала выбрать язык, верно?

Такой возможности в DLE нет, можно сделать только через костыли, сделав несколько копий шаблона, присвоив каждому шаблону свой язык и дать пользователям возможность выбирать шаблоны.
Ну или использовать плагин Multi-Language.
https://japing.pw/modules/13-multi-language.html

А как тогда пользователю менять язык на сайте?

Нет такого тега {LANGS}. В офф. доках написано:

{lang text="LANG_PARAMETER"}

Данный тег предназначен для вывода информации из языкового файла website.tpl, который в данный момент используется, где LANG_PARAMETER это значение параметра, который необходимо вывести. Например, тег {lang text="attach_images"} выведет надпись “Прикрепить изображения” из языкового пакета, в случае использования русского языка и если используется английский язык, то “Attach Images”